// MÓDULO DE APRENDIZAJE
Quiz de Optimización
Pon a prueba tu dominio de Programación Lineal con los problemas reales de NexTech. Cada pregunta revela la solución completa.
PREGUNTA 1 / 6
0 CORRECTAS
PROBLEMA 1 · MAXIMIZACIÓN
01 / 06
¿Cuál es la función objetivo del Problema 1 de NexTech Industries?
NX-Lite: $50,000 utilidad/unidad | NX-Heavy: $80,000 utilidad/unidad | Meta: maximizar utilidades mensuales
SOLUCIÓN COMPLETA — PROBLEMA 1: MAXIMIZACIÓN
① VARIABLES DE DECISIÓN
X₁ = Cantidad de cohetes NX-Lite producidos/mes
X₂ = Cantidad de cohetes NX-Heavy producidos/mes
② FUNCIÓN OBJETIVO
Zmax = $50,000 X₁ + $80,000 X₂
③ RESTRICCIONES
Ensamblaje (≤): 4X₁ + 6X₂ ≤ 120 hrs
Pruebas (≤): 3X₁ + 3X₂ ≤ 90 hrs
Certificación(≤): 2X₁ + 5X₂ ≤ 100 hrs
No negatividad: X₁, X₂ ≥ 0
④ COORDENADAS
Ensamblaje: Si X₁=0 → X₂=20 → (0,20) | Si X₂=0 → X₁=30 → (30,0)
Pruebas: Si X₁=0 → X₂=30 → (0,30) | Si X₂=0 → X₁=30 → (30,0)
Certificación: Si X₁=0 → X₂=20 → (0,20) | Si X₂=0 → X₁=50 → (50,0)
⑤ GRÁFICA DE LA ZONA FACTIBLE
⑦⑧ VÉRTICES Y EVALUACIÓN DE LA F.O.
| Vértice | X₁ | X₂ | Zmax | Resultado |
|---|---|---|---|---|
| A | 0 | 0 | $50K(0)+$80K(0) | $0 |
| B | 30 | 0 | $50K(30)+$80K(0) | $1,500,000 |
| C ⭐ | 0 | 20 | $50K(0)+$80K(20) | $1,600,000 |
⑨⑩ RESULTADO E INTERPRETACIÓN
X₁ = 0 (no producir NX-Lite)
X₂ = 20 (producir 20 NX-Heavy/mes)
Zmax = $1,600,000/mes
Verificación:
Ensamblaje: 4(0)+6(20) = 120 ≤ 120 ✓
Pruebas: 3(0)+3(20) = 60 ≤ 90 ✓
Certificación: 2(0)+5(20) = 100 ≤ 100 ✓
MÉTODO SIMPLEX — TABLA INICIAL
| VB | X₁ | X₂ | S₁ | S₂ | S₃ | Z | LD | Coc. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| S₁ | 4 | 6← | 1 | 0 | 0 | 0 | 120 | 20★ |
| S₂ | 3 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 90 | 30 |
| S₃ | 2 | 5 | 0 | 0 | 1 | 0 | 100 | 20 |
| Z | -50K | -80K | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | — |
VBE: X₂ (más negativo en Z = -80,000)
VBS: S₁ (cociente menor = 20) Pivote: 6
TABLA FINAL (ÓPTIMA)
| VB | X₁ | X₂ | S₁ | S₂ | S₃ | Z | LD |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| X₂ | 2/3 | 1 | 1/6 | 0 | 0 | 0 | 20 |
| S₂ | 1 | 0 | -1/2 | 1 | 0 | 0 | 30 |
| S₃ | -4/3 | 0 | -5/6 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| Z | 3,333 | 0 | 13,333 | 0 | 0 | 1 | 1,600,000 |
✅ Sin negativos en Z → Solución óptima: X₂=20, Z=$1,600,000
DUAL DEL PROBLEMA 1
Primal (Max): → Dual (Min)
Zmax = 50,000X₁+80,000X₂ Wmin = 120Y₁+90Y₂+100Y₃
Restricciones duales:
4Y₁ + 3Y₂ + 2Y₃ ≥ 50,000
6Y₁ + 3Y₂ + 5Y₃ ≥ 80,000
Y₁, Y₂, Y₃ ≥ 0
SOLUCIÓN DUAL
Y₂ = 0 (S₂=30 en primal → holgura positiva)
Sistema activo (Y₂=0):
4Y₁ + 2Y₃ = 50,000
6Y₁ + 5Y₃ = 80,000
→ Y₁ = 11,250
→ Y₃ = 2,500
Wmin = 120(11,250)+90(0)+100(2,500) = $1,600,000 = Zmax ✓
GRÁFICA DUAL
INTERPRETACIÓN ECONÓMICA
Y₁ = $11,250 → Cada hora extra en Ensamblaje aumenta $11,250 la utilidad
Y₂ = $0 → Pruebas tiene holgura (30 hrs), sin valor marginal
Y₃ = $2,500 → Cada hora extra en Certificación aumenta $2,500
PROBLEMA 1 · RESTRICCIONES
02 / 06
¿Cuántos cohetes NX-Heavy (X₂) puede producir NexTech si X₁=0 y solo considera la restricción de Ensamblaje?
Restricción Ensamblaje: 4X₁ + 6X₂ ≤ 120 | Horas disponibles: 120 hrs/mes
CÁLCULO DE COORDENADAS — ENSAMBLAJE
④ COORDENADAS — RESTRICCIÓN DE ENSAMBLAJE
Si X₁ = 0: 4(0) + 6X₂ = 120
6X₂ = 120
X₂ = 120/6 = 20 → Punto (0, 20)
Si X₂ = 0: 4X₁ + 6(0) = 120
X₁ = 120/4 = 30 → Punto (30, 0)
Estos son los dos puntos que definen la recta de Ensamblaje en la gráfica.
⑤ GRÁFICA — ZONA FACTIBLE
PROBLEMA 1 · SOLUCIÓN ÓPTIMA
03 / 06
¿Cuál es la utilidad máxima que puede obtener NexTech Industries por mes?
Vértices de la zona factible: A(0,0), B(30,0), C(0,20) | Zmax = $50,000X₁ + $80,000X₂
SUSTITUCIÓN DE VÉRTICES EN LA F.O.
⑧ EVALUACIÓN DE TODOS LOS VÉRTICES
Vértice A (0, 0):
Zmax = $50,000(0) + $80,000(0) = $0
Vértice B (30, 0):
Zmax = $50,000(30) + $80,000(0) = $1,500,000
Vértice C (0, 20):
Zmax = $50,000(0) + $80,000(20) = $1,600,000 ← MÁXIMO ⭐
Conclusión: producir solo NX-Heavy maximiza utilidades.
PROBLEMA 2 · MINIMIZACIÓN
04 / 06
¿Cuál es la función objetivo del Problema 2 (minimización de costos de misiones)?
Misión Estándar: $8,000/misión | Misión Premium: $10,000/misión | Meta: cumplir contratos al mínimo costo
SOLUCIÓN COMPLETA — PROBLEMA 2: MINIMIZACIÓN
① VARIABLES DE DECISIÓN
X₁ = Número de Misiones Estándar por mes
X₂ = Número de Misiones Premium por mes
② FUNCIÓN OBJETIVO
Zmin = $8,000 X₁ + $10,000 X₂
③ RESTRICCIONES (MÍNIMOS)
Carga (≥): 3X₁ + 5X₂ ≥ 30 ton/mes
Ventana (≥): 4X₁ + 2X₂ ≥ 24 hrs/mes
Clientes (≥): 2X₁ + 6X₂ ≥ 24 clientes/mes
No negatividad: X₁, X₂ ≥ 0
④ COORDENADAS
Carga: Si X₁=0 → X₂=6 → (0,6) Si X₂=0 → X₁=10 → (10,0)
Ventana: Si X₁=0 → X₂=12 → (0,12) Si X₂=0 → X₁=6 → (6,0)
Clientes:Si X₁=0 → X₂=4 → (0,4) Si X₂=0 → X₁=12 → (12,0)
⑤ GRÁFICA — ZONA FACTIBLE (NO ACOTADA)
⑦⑧ VÉRTICES Y EVALUACIÓN
| Vértice | X₁ | X₂ | Zmin = $8K X₁+$10K X₂ |
|---|---|---|---|
| A | 0 | 12 | $120,000 |
| B ⭐ | 4.8 | 2.4 | $62,400 ← MÍNIMO |
| C | 7.5 | 1.5 | $75,000 |
| D | 10 | 0 | $80,000 |
⑨⑩ RESULTADO E INTERPRETACIÓN
X₁ ≈ 5 (5 Misiones Estándar/mes)
X₂ ≈ 2 (2 Misiones Premium/mes)
Zmin = $62,400/mes
Verificación (4.8, 2.4):
Ventana: 4(4.8)+2(2.4) = 24 ≥ 24 ✓
Clientes: 2(4.8)+6(2.4) = 24 ≥ 24 ✓
SIMPLEX BIG-M — VARIABLES ADICIONALES
Para ≥: restar Eᵢ (exceso) + sumar aᵢ (artificial, penalización M)
3X₁+5X₂ − E₁+a₁ = 30
4X₁+2X₂ − E₂+a₂ = 24
2X₁+6X₂ − E₃+a₃ = 24
TABLA INICIAL
| VB | X₁ | X₂ | E₁ | E₂ | E₃ | a₁ | a₂ | a₃ | LD | Coc. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a₁ | 3 | 5 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 30 | 6 |
| a₂ | 4 | 2 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 24 | 12 |
| a₃ | 2 | 6← | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | 24 | 4★ |
| Z | 8K+8M | 10K+16M | -M | -M | -M | 0 | 0 | 0 | -78M | — |
TABLA FINAL
| VB | X₁ | X₂ | E₂ | E₃ | Z | LD |
|---|---|---|---|---|---|---|
| X₁ | 1 | 0 | -3/10 | 1/10 | 0 | 4.8 |
| X₂ | 0 | 1 | 1/10 | -1/5 | 0 | 2.4 |
| Z | 0 | 0 | + | + | 1 | 62,400 |
DUAL DEL PROBLEMA 2
Primal (Min ≥): → Dual (Max ≤)
Zmin = 8,000X₁+10,000X₂ Wmax = 30Y₁+24Y₂+24Y₃
Restricciones duales:
3Y₁ + 4Y₂ + 2Y₃ ≤ 8,000
5Y₁ + 2Y₂ + 6Y₃ ≤ 10,000
Y₁, Y₂, Y₃ ≥ 0
SOLUCIÓN DUAL
Y₁ = 0 (restricción Carga tiene exceso positivo)
Sistema activo:
4Y₂ + 2Y₃ = 8,000
2Y₂ + 6Y₃ = 10,000
→ Y₂ = 1,400
→ Y₃ = 1,200
Wmax = 30(0)+24(1,400)+24(1,200) = $62,400 = Zmin ✓
GRÁFICA DUAL
INTERPRETACIÓN ECONÓMICA
Y₁ = $0 → Carga tiene exceso, sin valor marginal
Y₂ = $1,400 → Cada hora extra de ventana reduce $1,400 el costo
Y₃ = $1,200 → Cubrir un cliente más reduce $1,200 el costo
PROBLEMA 2 · INTERSECCIÓN
05 / 06
¿Cuál es el vértice B de la zona factible del Problema 2, formado por la intersección de Ventana y Clientes?
Ventana: 4X₁+2X₂=24 | Clientes: 2X₁+6X₂=24
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS — VÉRTICE B
⑦ INTERSECCIÓN VENTANA ∩ CLIENTES
Sistema:
4X₁ + 2X₂ = 24 ×(3) → 12X₁ + 6X₂ = 72
2X₁ + 6X₂ = 24 → 2X₁ + 6X₂ = 24
──────────────────
Restando: 10X₁ = 48
X₁ = 4.8
Sustituyendo X₁=4.8 en Ventana:
4(4.8) + 2X₂ = 24
19.2 + 2X₂ = 24
2X₂ = 4.8
X₂ = 2.4
Vértice B = (4.8, 2.4)
EVALUACIÓN EN VÉRTICE B
Zmin = $8,000(4.8) + $10,000(2.4)
= $38,400 + $24,000
= $62,400 ← COSTO MÍNIMO ÓPTIMO
DUALIDAD · TEOREMA FUNDAMENTAL
06 / 06
¿Qué establece el Teorema de Dualidad Fuerte sobre las soluciones óptimas del primal y el dual?
Problema 1: Zmax=$1,600,000 | Wmin=$1,600,000 | Problema 2: Zmin=$62,400 | Wmax=$62,400
ANÁLISIS DE DUALIDAD — RESUMEN NEXTECH
TEOREMA DE DUALIDAD FUERTE
Si el primal tiene solución óptima finita,
entonces el dual también la tiene, y:
Zmax (primal) = Wmin (dual)
Verificación en NexTech:
Problema 1: Zmax = $1,600,000 = Wmin = $1,600,000 ✓
Problema 2: Zmin = $62,400 = Wmax = $62,400 ✓
PRECIOS SOMBRA — RESUMEN NEXTECH
PROBLEMA 1 (Producción de cohetes):
Y₁=$11,250 Ensamblaje → recurso crítico #1
Y₂=$0 Pruebas → recurso con holgura (30 hrs libres)
Y₃=$2,500 Certificación → recurso crítico #2
PROBLEMA 2 (Misiones de lanzamiento):
Y₁=$0 Carga entregada → exceso de capacidad
Y₂=$1,400 Ventana launch → recurso crítico #1
Y₃=$1,200 Clientes → recurso crítico #2
// MISIÓN COMPLETADA
0/6
RESPUESTAS CORRECTAS